高考数学：高三数学数列测试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．
1．在等差数列{an}中，若a1＋a2＋a12＋a13＝24，则a7为()
A．6B．7C．8D．9
解析：∵a1＋a2＋a12＋a13＝4a7＝24，∴a7＝6.
答案：A
2．若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S33－S22＝1，则数列{an}的公差是()
A.12 B．1 C．2 D．3
解析：由Sn＝na1＋n(n－1)2d，得S3＝3a1＋3d，S2＝2a1＋d，代入S33－S22＝1，得d＝2，故选C.
答案：C
3．已知数列a1＝1，a2＝5，an＋2＝an＋1－an(n∈N*)，则a2 011等于()
A．1 B．－4 C．4 D．5
解析：由已知，得a1＝1，a2＝5，a3＝4，a4＝－1，a5＝－5，a6＝－4，a7＝1，a8＝5，…
故{an}是以6为周期的数列，
∴a2 011＝a6×335＋1＝a1＝1.
答案：A
4．设{an}是等差数列，Sn是其前n项和，且S5＜S6，S6＝S7＞S8，则下列结论错误的是()
A．d＜0 B．a7＝0
C．S9＞S5 D．S6与S7均为Sn的最大值
解析：∵S5＜S6，∴a6＞0.S6＝S7，∴a7＝0.
又S7＞S8，∴a8＜0.
假设S9＞S5，则a6＋a7＋a8＋a9＞0，即2(a7＋a8)＞0.
∵a7＝0，a8＜0，∴a7＋a8＜0.假设不成立，故S9＜S5.∴C错误.
答案：C
5．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q的值为()
A．－12 B.12
C．1或－12 D．－2或12[
解析：设首项为a1，公比为q，
则当q＝1时，S3＝3a1＝3a3，适合题意．
当q≠1时，a1(1－q3)1－q＝3?a1q2，
∴1－q3＝3q2－3q3，即1＋q＋q2＝3q2,2q2－q－1＝0，
解得q＝1(舍去)，或q＝－12.
综上，q＝1，或q＝－12.
答案：C
6．若数列{an}的通项公式an＝5 ?252n－2－4?25n－1，数列{an}的最大项为第x项，最小项为第y项，则x＋y等于()
A．3 B．4 C．5 D．6
解析：an＝5?252n－2－4?25n－1＝5?25n－1－252－45，
∴n＝2时，an最小；n＝1时，an最大．
此时x＝1，y＝2，∴x＋y＝3.
答案：A
7．数列{an}中，a1 ＝15,3an＋1＝ 3an－2(n∈N *)，则该数列中相邻两项的乘积是负数的是()
A．a21a22 B．a22a23 C．a23a24 D．a24a25
解析：∵3an＋1＝3an－2，
∴an＋1－an＝－23，即公差d＝－23.
∴an＝a1＋(n－1)?d＝15－23(n－1)．
令an＞0，即15－23(n－1)＞0，解得n＜23.5.
又n∈N*，∴n≤23，∴a23＞0，而a24＜0，∴a23a24＜0.
答案：C
8．某工厂去年产值为a，计划今后5年内每年比上年产值增加10%，则从今年起到第5年，这个厂的总产值为()
A．1.14a B．1.15a
C．11×(1.15－1)a D．10×(1.16－1)a
解析：由已知，得每年产值构成等比数列a1＝a，w
an＝a(1＋10%)n－1(1≤n≤6)．
∴总产值为S6－a1＝11×(1.15－1)a.
答案：C
9．已知正数组成的等差数列{an}的前20项的和为100，那么a7?a14的最大值为()
A．25 B．50 C．1 00 D．不存在
解析：由S20＝100，得a1＋a20＝10. ∴a7＋a14＝10.
又a7＞0，a14＞0，∴a7?a14≤a7＋a1422＝25.
答案：A
10．设数列{an}是首项为m，公比为q(q≠0)的等比数列，Sn是它的前n项和，对任意的n∈N*，点an，S2nSn()
A．在直线mx＋qy－q＝0上
B．在直线qx－my＋m＝0上
C．在直线qx＋my－q＝0上
D．不一定在一条直线上
解析：an＝mqn－1＝x，①S2nSn＝m(1－q2n)1－qm(1－qn)1－q＝1＋qn＝y， ②
由②得qn＝y－1，代入①得x＝mq(y－1)， 即qx－my＋m＝0.
答案：B
11．将以2为首项的偶数数列，按下列方法分组：(2)，(4,6)，(8,10,12)，…，第n组有n个数，则第n组的首项为()
A．n2－n B．n2＋n＋2
C．n2＋n D．n2－n＋2
解析：因为前n－1组占用了数列2,4,6，…的前1＋2＋3＋…＋(n－1)＝(n－1)n2项，所以第n组的首项为数列2,4,6，…的第(n－1)n2＋1项，等于2＋(n－1)n2＋1－1?2＝n2－n＋2.
答案：D
12．设m∈N*，log2m的整数部分用F(m)表示，则F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)的值是()
A．8 204 B．8 192
C．9 218 D．以上都不对
解析：依题意，F(1)＝0，
F(2)＝F(3)＝1，有2 个
F(4)＝F(5)＝F(6)＝F(7)＝2，有22个．
F(8)＝…＝F(15)＝3，有23个．
F(16)＝…＝F(31)＝4，有24个．
…
F(512)＝…＝F(1 023)＝9，有29个．
F(1 024)＝10，有1个．
故F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝0＋1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29＋10.
令T＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋9×29，①
则2T＝1×22＋2×23＋…＋8×29＋9×210.②
①－②，得－T＝2＋22＋23＋…＋29－9×210 ＝
2(1－29)1－2－9×210＝210－2－9×210＝－8×210－2，
∴T＝8×210＋2＝8 194， m]
∴F(1)＋F(2)＋…＋F(1 024)＝8 194＋10＝8 204.
答案：A
第Ⅱ卷(非选择共90分)
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分 ，共20分．
13．若数列{an} 满足关系a1＝2，an＋1＝3an＋2，该数 列的通项公式为__________．
解析：∵an＋1＝3an＋2两边加上1得，an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴{an＋1}是以a1＋1＝3为首项，以3为公比的等比数列，
∴an＋1＝3?3n－1＝3n，∴an＝3n－1.
答案：an＝3n－1
14．已知公差不为零的等差数列{an}中，M＝anan＋3，N＝an＋1an＋2，则M与N的大小关系是__________．
解析：设{an}的公差为d，则d≠0.
M－N＝an(an＋3d)－[(an＋d)(an＋2d)]
＝an2＋3dan－an2－3dan－2d2＝－2d2＜0，∴M＜N.
答案：M＜N
15．在数列{an}中，a1＝6，且对任意大于1的正整数n，点(an，an－1)在直线x－y＝6上，则数列{ann3(n＋1)}的前n项和Sn＝__________.
解析：∵点(an，an－1)在直线x－y＝6上，
∴an－an－1＝6，即数列{an}为等差数列．
∴an＝a1＋6(n－1)＝6＋6(n－1)＝6n，
∴an＝6n2.
∴ann3(n＋1)＝6n2n3(n＋1)＝6n(n＋1)＝61n－1n＋1
∴Sn＝61－12＋12－13＋…＋1n－1n＋1.＝61－1n＋1＝6nn＋1.
答案：6nn＋1
16．观察下表：
1
234
34567
45678910
…
则第__________行的各数之和等于2 0092.
解析：设第n行的各数之和等于2 0092，
则此行是一个首项a1＝n，项数为2n－1，公差为1的等差数列．
故S＝n×(2n－1)＋(2n－1)(2n－2)2＝2 0092， 解得n＝1 005.
答案：1 005
三、解答题：本大题共6小题，共70分．
17．(10分)已知数列{an}中，a1＝12，an＋1＝12an＋1(n∈N*)，令bn＝an－2.
(1)求证：{bn}是等比数列，并求bn；
(2)求通项an并求{an}的前n项和Sn.
解析：(1)∵bn＋1bn＝an＋1－2an－2＝12an＋1－2an－2＝12an－1an－2＝12，
∴{bn}是等比数列．
∵b1＝a1－2＝－32，
∴bn＝b1qn－1＝－32×12n－1＝－32n.
(2)an＝bn＋2＝－32n＋2，
Sn＝a1＋a2＋…＋an
＝－32＋2＋－322＋2＋－323＋2＋…＋－32n＋2
＝－3×12＋122＋…＋12n＋2n＝－3×12×1－12n1－12＋2n＝32n＋2n－3.
18．(12分)若数列{an}的前n项和Sn＝2n.
(1)求{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＝－1，bn＋1＝bn＋(2n－1)，且cn＝an?bnn，求数列{cn}的通项公式及其前n项和Tn.
解析：(1)由题意Sn＝2n，
得Sn－1＝2n－1(n≥2)，
两式相减，得an＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)．
当n＝1时，21－1＝1≠S1＝a1＝2.
∴an＝2(n＝1)，2n－1 (n≥2).
(2)∵bn＋1＝bn＋(2n－1)，
∴b2－b1＝1，
b3－b2＝3，
b4－b3＝5，
…
bn－bn－1＝2n－3.
以上各式相加，得
bn－b1＝1＋3＋5＋…＋(2n－3)
＝(n－1)(1＋2n－3)2＝(n－1)2.
∵b1＝－1，∴bn＝n2－2n，
∴cn＝－2(n＝1)，(n－2)×2n－1 (n≥2)，
∴Tn＝－2＋0×21＋1×22＋2×23＋…＋(n－2)×2n－1，
∴2Tn＝－4＋0×22＋1×23＋2×24＋…＋(n－2)×2n.
∴－Tn＝2＋22＋23＋…＋2n－1－(n－2)×2n
＝2(1－2n－1)1－2－(n－2)×2n
＝2n－2－(n－2)×2n
＝－2－(n－3)×2n.
∴Tn＝2＋(n－3)×2n.
19．(12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差d≠0，且S3＋S5＝50，a1，a4，a13成等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若从数列{an}中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n项，…，按原来顺序组成一个新数列{bn}，记该数列的前n项和为Tn，求Tn的表达式．
解析：(1)依题意，得
3a1＋3×22d＋5a1＋5×42d＝50，(a1＋3d)2＝a1(a1＋12d)，解得a1＝3，d＝2.
∴an＝a1＋(n－1)d＝3＋2(n－1)＝2n＋1，
即an＝2n＋1.
(2)由已知，得bn＝a2n＝2×2n＋1＝2n＋1＋1，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(22＋1)＋(23＋1)＋…＋(2n＋1＋1)
＝4(1－2n)1－2＋n＝2n＋2－4＋n.
20．(12分)设数列{an}的前n项和为Sn，且ban－2n＝(b－1)Sn.
(1)证明：当b＝2时，{an－n?2n－1}是等比数列；
(2)求通项an. 新 课 标 第 一 网
解析：由题意知，a1＝2，且ban－2n＝(b－1)Sn，
ban＋1－2n＋1＝(b－1)Sn＋1，
两式相减，得b(an＋1－an)－2n＝(b－1)an＋1，
即an＋1＝ban＋2n.①
(1)当b＝2时，由①知，an＋1＝2an＋2n.
于是an＋1－(n＋1)?2n＝2an＋2n－(n＋1)?2n
＝2an－n?2n－1.
又a1－ 1?20＝1≠0，
∴{an－n?2n－1}是首项为1，公比为2的等比数列．
(2)当b＝2时，
由(1)知，an－n?2n－1＝2n－1，即an＝(n＋1)?2n－1
当b≠2时，由①得
an ＋1－12－b?2n＋1＝ban＋2n－12－b?2n＋1＝ban－b2－b?2n
＝ban－12－b?2n，
因此an＋1－12－b?2n＋1＝ban－12－b?2n＝2(1－b)2－b?bn.
得an＝2，n＝1，12－b[2n＋(2－2b)bn－1]， n≥2.
21．(12分)某地在抗洪抢险中接到预报，24小时后又一个超历史最高水位的洪峰到达，为保证万无一失，抗洪指挥部决定在24小时内另筑起一道堤作为第二道防线．经计算，如果有 20辆大型翻斗车同时作业25小时，可以筑起第二道防线，但是除了现有的一辆车可以立即投入作业外，其余车辆需从各处紧急抽调，每隔20分钟就有一辆车到达并投入工作．问指挥部至少还需组织多少辆车这样陆续工作，才能保证24小时内完成第二道防线，请说明理由．
解析：设从现有这辆车投入工作算起，各车的工作时间依次组成数列{an}，则an－an－1＝－13.
所以各车的工作时间构成首项为24，公差为－13的等差数列，由题知，24小时内最多可抽调72辆车．
设还需组织(n－1)辆车，则
a1＋a2＋…＋an＝24n＋n(n－1)2×－13≥20×25.
所以n2－145n＋3 000≤0，
解得25≤n≤120，且n≤73.
所以nmin＝25，n－1＝24.
故至少还需组织24辆车陆续工作，才能保证在24小时内完成第二道防线．
22．(12分)已知点集L＝{(x，y)|y＝m?n}，其中m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，点列Pn(an，bn)在点集L中，P1为L的轨迹与y轴的交点，已知数列{an}为等差数列，且公差为1，n∈N*.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(3)设cn＝5n?an?|PnPn＋1|(n≥2)，求c2＋c3＋c4＋…＋cn的值．
解析：(1)由y＝m?n，m＝(2x－2b,1)，n＝(1,1＋2b)，
得y＝2x＋1，即L：y＝2x＋1.
∵P1为L的轨迹与y轴的交点，
∴P1(0,1)，则a1＝0，b1＝1.
∵数列{an}为等差数列，且公差为1，
∴an＝n－1(n∈N*) ．
代入y＝2x＋1，得bn＝2n－1(n∈N*)．
(2)∵Pn(n－1,2n－1)，∴Pn＋1(n,2n＋1)．
＝5n2－n－1＝5n－1102－2120.
∵n∈N*，
(3)当n≥2时，Pn(n－1,2n－1)，
∴c2＋c3＋…＋cn
＝1－12＋12－13＋…＋1n－1－1n＝1－1n.