考研数学高等数学框架知识点

第一单元微分学（包括极限、连续性、微分学）

A.基本内容

一、极限

1.极限的概念：（1）一元函数的极限的定义（2）二元函数的二重极限的定义

2.极限的运算法则

3.无穷小：（1）定义（2）性质（3）极限与无穷小的关系（4）无穷小的比较

4.无穷大

5.极限的求法：十二种方法

二、连续性

1.定义2.间断点的分类

3.连续函数的运算性质4.在闭区间（域）上连续函数的性质

三、导数与微分

1.导数的定义：（1）导数（2）偏导数（3）方向导数

2.微分的定义

3.可微的条件

四、求导法则

1.和（差）、积、商的求导法则

2.复合函数求导法则

3.反函数求导法则

五、几类特殊函数的导数

1.隐函数2.幂指函数3.参数式

六、高阶（偏）导数

1.定义2.求法3.二阶混合偏导数与求导次序无关的条件

七、微分中值定理

1.三个中值定理2.泰勒公式

B.知识关系图

一、一元函数

二、二元函数

三、中值定理的关系

C.常考内容

一、极限的求法二、无穷小三、导数的定义

四、求导法则（一、二阶）五、连续性六、中值定理

第二单元积分学

A.基本内容

一、各类积分的定义

二、各类积分的性质：相同的；不同的

三、各类积分的常规计算方法

1.不定积分、定积分的换元与分部积分法2.重积分：化重积分为累次积分

3.曲线积分：化曲线积分为定积分4.曲面积分：化曲面积分为二重积分

四、各类积分的特殊计算方法

1.定积分：奇偶性周期性

2.二重积分、三重积分、对弧长的曲线积分、对面积的曲面积分：

（1）奇偶性（2）轮换对称性

（3）重心的公式反用（4）先二后一法计算三重积分

3.对坐标的曲线积分

（1）格林公式（2）斯托克斯公式（3）与路径无关的积分

4.对坐标的曲面积分：高斯公式

B.各类积分关系图

第三单元级数、微分方程

A.基本内容

一、级数

1.常数项级数

（1）定义（2）性质（3）常数项级数审敛法

2.幂级数

（1）幂级数的定义（2）阿贝尔定理

（3）幂级数的性质：逐项求导，逐项积分（4）幂级数的收敛半径与区间

（5）幂级数的和函数（6）将函数展开成幂级数

3.傅里叶级数

（1）傅里叶系数与傅里叶级数（2）狄氏定理（3）正、余弦级数

二、微分方程及差分方程

1.定义2.一阶方程3.可降阶的高阶方程

4.线性方程

（1）线性方程解的性质（2）齐次线性方程（3）非齐次线性方程

5.欧拉方程6.差分方程

B.常考内容

一、常数项级数审敛二、幂级数

三、齐次方程、一阶线性方程、二阶常系数非齐次方程四、列方程

第四单元应用问题

一、导数的应用

1.单调性的判别法

2.函数的极值：

（1）一元函数、二元函数的极值的定义；（2）必要条件；

（3）充分条件：①一元函数：二个充分条件；②二元函数（4）条件极值

3.函数的最值

4.曲线的凹凸性和拐点

5.渐近线及作图

6.切线与法线

7.切线与切平面

二、积分的应用

2.物理应用

（1）功（2）水压力（3）引力（4）质量、质心、形心、转动惯量

（5）流量

第五单元证明问题

一、等式的证明方法

1.用介值定理2.用中值定理3.用泰勒公式

4.用积分法5.用积分的性质6.转换法

7.改变积分次序法

二、证明不等式的方法

1.用函数的单调性2.用中值定理3.用泰勒公式

4.用积分的性质5.转换法6.求最值